Le livre présente les catastrophes et les bifurcations ; l'auteur propose, comme autre titre : méthodes générales dans l'étude des singularités et des bifurcations, pour préciser le cadre de la présentation, il développe essentiellement les outils utiles à l'étude du sujet. Le contenu est celui d'une partie d'un cours de géométrie, distribué par l'auteur à l'Ecole Polytechnique en 1985-1987.
Au début du livre, dans une introduction d'une dizaine de pages, l'auteur motive les développements des chapitres qui vont suivre : à partir de deux exemples, il souligne l'importance des singularités qui permettent d'étudier la forme des objets géométriques, et de la stabilité structurelle qui rend possible une modélisation ; et il introduit, sur des situations particulières, les notions de catastrophe (changement de strate pour un objet géométrique) et de bifurcation (changement d'équilibre d'une barre). Cette introduction cite un grand nombre de termes et de résultats qui seront présentés dans la suite.
Le cours est réparti en dix chapitres d'une trentaine de pages. Le premier paragraphe de chaque chapitre est une introduction de une ou deux pages où l'auteur annonce le contenu, détaillé par paragraphes, les outils envisagés, propose des motivations, indique des choix retenus, suggère une appréhension globale du chapitre. Le dernier paragraphe, dans six chapitres, présente en quelques dizaines de lignes des renseignements historiques sur la construction progressive des résultats du chapitre.
En général, les théorèmes de ce cours sont démontrés ou accompagnés d'une démarche pour en esquisser une preuve ; pour certains, l'auteur suggère au lecteur d'établir une démonstration à titre d'exercice ou bien précise qu'il admet le résultat quand la difficulté dépasserait le cadre du livre (en particulier dans les derniers chapitres). Parmi les cadres et outils privilégiés dans les développements figurent : espaces vectoriels de dimension finie, sous-variétés, ensemble des réels (ensemble des complexes au chapitre VII) ; changement de coordonnées, paramètres locaux, ...
Des rappels sont présentés au moment où ils sont utiles, en particulier sur algèbre linéaire, topologie générale, théorie de la mesure, clairement structuré, avec souvent l'annonce des différentes étapes à franchir lorsque l'établissement d'un résultat est longue. Les énoncés sont souvent formulés de plusieurs manières, avec parfois une idée d'approche sous forme de résultat espéré, l'auteur soulignant le passage d'une représentation évocatrice à un texte en termes plus savants. Quelques exemples les accompagnent. Des commentaires, dans le texte ou en bas de page, attirent l'attention sur l'importance d'une hypothèse, un type d'erreur possible, les limites d'un énoncé, l'ambiguïté d'une notation ou terminologie ; expliquent la provenance d'une appellation, renvoient à un ouvrage cité dans la bibliographie pour complément, …Et une vingtaine de notes de bas de page donne des informations biographiques sur les mathématiciens cités dans l'étude.
Une soixantaine de figures est proposée pour visualiser ou mémoriser des résultats obtenus au cours des exposés. Trois tailles de caractères d'imprimerie soulignent la distinction entre les énoncés ou développements du cours, le démonstrations, les remarques et compléments.
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Titre
Catastrophes et bifurcations
Format
17,5 x 26 cm. 336 p.
Prix
27,5 €
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